Représentation paramétrique et équations cartésiennes - Spécialité
Appartenance d’un point à une droite
Exercice 1 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 -12t \\ y & = & -1 -5t \\ z & = & 3 -8t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-18;-11;-13\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 -12t \\ y & = & -1 -5t \\ z & = & 3 -8t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-18;-11;-13\right)\) appartienne à \((d)\) ?
Exercice 2 : Parmi les triplets de points suivants, lesquels sont des points alignés ?
Parmi les proposition suivantes, lesquelles sont vraies ?
- A. \( M\left(24;7;11\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -6 + 10t \\ y & = & -2 + 3t \\ z & = & 3 + 2t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- B. \( M\left(7;-27;65\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 + 0t \\ y & = & -2 + 5t \\ z & = & 5 -12t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- C. \( M\left(-13;14;-4\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -5 + 8t \\ y & = & 7 -5t \\ z & = & -4 + 0t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- D. \( M\left(3;-8;33\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 0t \\ y & = & 4 + 3t \\ z & = & 5 -7t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
Exercice 3 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 4t \\ y & = & -7 + 0t \\ z & = & 1 -4t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-2;-7;5\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 4t \\ y & = & -7 + 0t \\ z & = & 1 -4t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-2;-7;5\right)\) appartienne à \((d)\) ?
Exercice 4 : Parmi les triplets de points suivants, lesquels sont des points alignés ?
Parmi les proposition suivantes, lesquelles sont vraies ?
- A. \( M\left(-6;-2;-5\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 6 -9t \\ y & = & 4 -6t \\ z & = & 1 -6t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- B. \( M\left(-11;2;21\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 1 + 3t \\ y & = & 6 + 1t \\ z & = & 1 -5t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- C. \( M\left(-71;3;36\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -6 + 13t \\ y & = & 3 + 0t \\ z & = & 1 -7t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- D. \( M\left(-25;-58;4\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -5 + 4t \\ y & = & -6 + 11t \\ z & = & 4 + 0t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
Exercice 5 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 14t \\ y & = & -5 + 7t \\ z & = & 6 + 1t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(7;2;7\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 14t \\ y & = & -5 + 7t \\ z & = & 6 + 1t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(7;2;7\right)\) appartienne à \((d)\) ?